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机器学习算法（一）：1. numpy从零实现线性回归
机器学习算法（一）：2. 线性回归之多项式回归（特征选取）

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@TOC

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前言

本博客主要是将线性回归推广到多项式线性回归，主要实现手段就是进行特征选择来实现多项式线性回归。

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一、特征选取（特征构建）

这里说特征选取有点大了，说特征构建吧！看下面例子

这是一个二次函数，可以看到用简单的线性回归拟合效果永远无法实现拟合曲线的效果。要达到这种拟合曲线的情况就要用多项式回归了，其本质还是线性回归。我们主要对特征做一些手脚就可以实现这种效果了。上图中只有一个特征x,我们进行特征组合，加入一个新的特征x^2,记x_1 = x , x_2 = x^2,这样模型就变成了:
$$
\begin{aligned}
y &= w_1x + w_2x^2 \
&= w_1x_1 + w_2x_2
\end{aligned}
$$
最终还是变成了线性回归问题。这种特征组合是属于特征工程的一种，通过不同的特征组合，可以实现不同的效果。

二、代码实现

1.生成数据

x = np.arange(0,20,1)
X = x.reshape(-1,1)
y = X**2 + 1

fig = plt.figure()
plt.scatter(X,y)

输出：

2.搭建线性回归模型

本节在上个博客里已经有详细说明，看不懂可以参考机器学习算法（一）：1. numpy从零实现线性回归

def predict(X,w,b):
    '''
    模型预测函数
    :param X: 
    :param w: 
    :param b: 
    :return: 
    '''
    return np.dot(X,w) + b

def loss(X,y,w,b):
    '''
    :param X: 训练集特征
    :param y: 标签
    :param w: 参数
    :param b: 参数
    :return: 
    '''
    m = X.shape[0]
    return 1/(2*m)*np.sum(((np.dot(X,w)+b)-y)**2)

def compute_gradient(X, y, w, b):
    '''
    计算梯度，用逐点相乘的思路
    :param X: 
    :param y: 
    :param w: 
    :param b: 
    :return: 
    '''
    m, n = X.shape[0], X.shape[1]
    dj_dw = np.zeros((n, 1))
    dj_db = np.zeros((1,))
    err = np.dot(X, w) + b - y
    for j in range(n):
        dj_dw[j, 0] = (1/m) * np.sum(err * X[:, j].reshape((y.shape)))  # 使用广播机制计算  
        # dj_dw[j, 0] = (1/m) * np.sum(err * X[:, j]) 这样err是二维数组，X[:, j]是一维数组广播进行逐点会广播出错，都改变成二维
        # 这个坑我排除了一下午才发现，进行向量化操作时刻注意进行广播时的维度要特别特别注意，看大神写代码经常reshap一下，就是为了防止广播出错
    dj_db = (1/m) * np.sum(err)
    return dj_db, dj_dw

def gradient_descent(X, y, w_in, b_in, loss, gradient_function, alpha, num_iters): 
    J_history = []
    # 用来存每进行一次梯度后的损失，方便查看损失变化。如果要画损失变化也是用这个
    # w = copy.deepcopy(w_in)  #avoid modifying global w within function
    w = w_in
    b = b_in

    for i in range(num_iters):
        dj_db,dj_dw = gradient_function(X, y, w, b)   
        w = w - alpha * dj_dw               
        b = b - alpha * dj_db               

        if i<100000:      
            J_history.append( loss(X, y, w, b))
        if i
            # 控制间隔 打印出一次损失结果
            # 总迭代次数分成均分10组，在每组最后打印一次损失
            print(f"迭代次数（梯度下降次数） {i:9d}: Cost {float(J_history[-1]):0.5e}")

    return w, b, J_history 

3. 使用简单线性回归，不组合新特征

w_init = np.zeros((X.shape[1],1))
b_init = np.array([[0]])
w_final, b_final, J_history = gradient_descent(X,y,w_init,b_init,loss,compute_gradient,0.001,10000)

输出：

y_hat = predict(X,w_final,b_final)
fig = plt.figure()
plt.scatter(X,y,color='r',label='true')
plt.plot(X,y_hat,color='b',label='predit')
plt.xlabel('x')
plt.legend()
plt.show()

输出：

4. 使用组合特征（多项式回归）

X_1 = X
X_2 = X**2
X_ = np.concatenate((X_1,X_2),axis=1)
y_ = X_1**2
print(X_)
print(y_)

输出：

w_init2 = np.zeros((X_.shape[1],1))
b_init2 = np.array([[0]])
w_final, b_final, J_history2 = gradient_descent(X_,y_,w_init2,b_init2,loss,compute_gradient,0.000001,100000)
# 这里学习率尤为注意，设置过大会导致loss一直变大，最后溢出。0.0001好像都不行，还有更小才行

输出：

【注】：这里尤其注意学习率要足够小，不然loss一直变大，最后数据值太大计算机溢出

y_hat = predict(X_,w_final,b_final)
fig = plt.figure()
plt.scatter(X_1,y_,color='r',label='true')
plt.plot(X_1,y_hat,color='b',label='predit')
plt.legend()
plt.show()

输出：

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总结

以上就是今天关于多项式回归的简单实现了，